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Das Zahlensystem musste immer wieder erweitert werden – bis zu den komplexen Zahlen

Vom pythagoräischen Ideal der reinen Intervalle zur gleichschwebend-temperierten Stimmung

Das abgehobenste Teilgebiet der Mathematik macht sich nützlich für die vertrauliche Nachrichtenübermittlung

Symmetrien sind nicht nur ansehnlich; sie helfen uns auch die Grundgesetze der Physik zu verstehen

Mit etwas Anleitung finden Sie sich in beliebig hochdimensionalen Räumen zurecht

In der hyperbolischen Ebene ist genug Platz für Fünfecke mit fünf rechten Winkeln

Unendliche Verästelungen, gebrochene Dimensionen – die »mathematischen Monster« kommen in guter Näherung in der Natur vor

Mit den Begriffen »Funktion« und »Ableitung« erfassen die Mathematiker die Dynamik der Welt

Die »eindeutige Zuordnungsvorschrift« hilft Abhängigkeiten aller Art zu charakterisieren

Vor allem zur Beschreibung von Bewegung, zur Informationsverdichtung und zur Definition von Äquivalenz

Die Fourier-Analyse hilft akustische Signale in elementare Bestandteile zu zerlegen

Ob es unsere Unwissenheit ist oder das Wesen der Natur – manche Phänomene entziehen sich unserer Kontrolle

Das Zittern der Stäubchen ist das Paradebeispiel für einen stochastischen Prozess

Die Mathematik produziert unendlich viele ewige Wahrheiten. Aber gewisse wahre Aussagen kann sie nicht beweisen

Emil du Bois-Reymond und David Hilbert stritten sich wortgewaltig über die Grenzen der menschlichen Erkenntnisfähigkeit

Festgemauert auf dem Fundament der Axiome stehen die Sätze der euklidischen Geometrie und der Arithmetik

Die vollständige Induktion liefert unendlich viele Wahrheiten auf einen Streich

Warum sie zur Beschreibung der Natur so überaus geeignet ist, bleibt ein Rätsel

Editorial • Einführung: Wie die Ausstellung »Mathema« entstand • Impressum

Das Titelbild zeigt eine künstlerisch veredelte Fläche konstanter negativer gaußscher Krümmung

Titelmotiv: Paul Nylander, www.bugman123.com

Die Zeitschrift, die Sie in den Händen halten, steht in engem Zusammenhang mit der großen Ausstellung »mathema – Ist Mathematik die Sprache der Natur?«, die von November 2008 bis August 2009 im Deutschen Technikmuseum Berlin zu sehen war. Die Einteilung in Kapitel folgt der Gliederung der Ausstellung in Themenräume, die Autoren sind weit gehend identisch mit den Hauptverantwortlichen der Ausstellung, und natürlich sind die Themen dieselben.

Gleichwohl ist dieses Heft nicht einfach ein Katalog der Ausstellung. Da viele der Exponate nicht nur zum Anschauen, sondern auch zum Anfassen sind, wäre es wenig sinnvoll, sie alle getreulich abzubilden. Vielmehr wollen wir Ihnen auf Papier das bieten, wofür Sie bei einem Ausstellungsbesuch schwerlich die Geduld aufbringen würden: eine in die Tiefe gehende Erläuterung zentraler mathematischer Konzepte.

Deswegen können Sie das Heft auch dann mit Gewinn lesen, wenn Sie gar nicht in der Ausstellung waren. Vielleicht wollen Sie ja wissen, wie die Zahlentheorie zur sicheren Verschlüsselung von Nachrichten beiträgt, was es mit Fraktalen auf sich hat oder wie man etwas besonders gut ausrechnet, indem man den Zufall walten lässt. Oder es interessieren Sie philosophische Fragen: Inwieweit steckt in der uns umgebenden Welt Mathematik, und war sie schon da, bevor irgendein Mensch Mathematik betrieb? Wie kann die Mathematik Aussagen über das Unendliche treffen? Gibt es eine unüberwindliche Grenze mathematischer Erkenntnis?

Vielleicht wollen Sie aber auch endlich wissen, wozu Sie dieses ganze Zeug in der Schule eigentlich lernen mussten. In der Regel hat Ihnen der Mathematiklehrer den Stoff zwar ganz ordentlich – wenn auch selten Freude erregend – beigebracht, aber damals noch kaum erklären können, was denn so bedeutend am Satz des Thales, den binomischen Formeln oder der Definition des Grenzwerts sein sollte. Nicht Aktualität war uns oberstes Gebot bei der Auswahl der Themen (auch wenn der beschriebene Primzahlenrekord vom August 2008 zweieinhalb Jahre später immer noch Bestand hat), sondern die Anknüpfung an die Lebenswirklichkeit des Besuchers und des Lesers. Entdecken Sie Mathematik in Ihrer alltäglichen Umgebung!

Übrigens: Der Kinderteil der Ausstellung »mathema«, die Kinderinsel »mathemachen«, ist nach wie vor zu besichtigen. Nach der derzeitigen (Februar 2011) Planung wird das wohl eine Dauerausstellung werden.

Mit dieser Ausstellung haben wir beide eine schon lange gehegte Idee realisiert. Nur war es, wie sich bald herausstellte, nicht dieselbe Idee – nicht einmal annähernd. Wir, das sind Hadwig Dorsch, Kustodin am Deutschen Technikmuseum Berlin, und Ehrhard Behrends, Professor für Mathematik an der Freien Universität Berlin. Kennen gelernt haben wir uns durch die Kolumne »Fünf Minuten Mathematik«, die Ehrhard Behrends regelmäßig in der Tageszeitung »Die Welt« veröffentlicht hat (Spektrum der Wissenschaft 1/2007, S. 110).

Für mich (Hadwig Dorsch) stand die Idee im Vordergrund, Mathematik in ihrer kulturellen und gesellschaftlichen Bedingtheit darzustellen. Das legte einen historischen Ansatz nahe, mit Fragen wie: Wie kamen die Zahlen in die Welt? Welche Auswirkungen hatten die praktischen Probleme des sich entwickelnden Finanzwesens im 16. Jahrhundert für die Mathematik?

Darüber hinaus wollte ich philosophische Fragen beleuchten. Zweifelsfrei bildet die Mathematik eine zentrale Komponente des menschlichen Denkens, aber was ist sie eigentlich? Ist sie ein Werkzeug zur Entwicklung von Wissen und Technik, ein abstraktes, von der Realität unabhängiges Gedankenspiel, die verborgene Struktur der Welt selbst oder von allem etwas?

Nach meiner (Ehrhard Behrends) Überzeugung sollten in der Ausstellung drei Aspekte deutlich werden:

Erstens ist Mathematik nützlich. Fast alle wissenschaftlichen und technischen Errungenschaften beruhen wesentlich auf dieser Wissenschaft.

Zweitens hält sie intellektuelle Herausforderungen bereit, die eine große Faszination ausüben können. Man kann Monate, in vielen Fällen sogar Jahre von einem Problem absorbiert werden, bis man endlich eine neue »ewige« Wahrheit gefunden hat.

Drittens ist ohne Mathematik nicht zu verstehen, was »die Welt im Innersten zusammenhält«. Unser gegenwärtiges Weltbild, im Großen durch die Relativitätstheorien und im Kleinen durch die Quantenmechanik beschrieben, ist ohne Mathematik nicht einmal formulierbar. Und die Frage, warum das so ist und wie weit diese Methode trägt, wirft interessante philosophische Fragen auf.

Hadwig Dorsch hat Germanistik, Politologie, Geschichte und Informatik studiert. Sie ist seit 1984 Leiterin der Abteilung Rechen- und Automations-technik im Deutschen Technikmuseum Berlin.

Der häufig beklagte cultural gap, die Kluft zwischen der natur- und der geisteswissenschaftlichen Kultur, hat sich zwischen uns in voller Breite und Tiefe aufgetan, und es war mühsam, sie zu überbrücken, trotz guter Schulnoten in Mathematik (Dorsch) und der schriftstellerischen Erfahrung (Behrends). Mathematik ist zwar eine universale Sprache. Aber das schließt leider nicht aus, dass es wie bei jeder anderen Sprache Verständnisprobleme gibt.

Ehrhard Behrends, Professor für Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung an der FU Berlin, ist im Präsidium der Deutschen Mathematiker-Vereinigung für die Öffentlichkeitsarbeit zuständig und Betreuer der Website www.mathematik.de.

Viele Begriffe werden in der Mathematik anders verwendet als in der Umgangssprache. Was sind Muster? Was ist eine Struktur? Was versteht man unter Chaos? Was ist der Unterschied zwischen Bewegung und Veränderung? Wenn ein Mathematiker an einen »Raum« denkt, ist für ihn der zweidimensionale Raum, sprich die Ebene, gleich inbegriffen; das will dem »Normalmenschen« nicht unmittelbar einleuchten.

Nun – wir haben uns in ausführlichen Diskussionen auf ein gemeinsames Konzept geeinigt. Hoffen wir, dass Sie, verehrte Besucher der Ausstellung und Leser dieses Heftes, von unseren Verständigungsbemühungen profitieren. Denn die angesprochene Kluft ist ja nur ein Sonderfall des viel größeren Grabens, der die Mathematik vom allgemeinen öffentlichen Bewusstsein trennt.

Über mangelnden Respekt können sich die Vertreter des Fachs nicht ernsthaft beklagen. Mathematik gilt allgemein als schwer und hochgeistig, aber eben auch als abgehoben von der Wirklichkeit, als Beschäftigung für weltferne Genies – und als ein Schulfach, dessen Sinn und Zweck einem nie richtig einleuchten wollte. Mit dieser Ausstellung – die nicht umsonst im »Jahr der Mathematik« beginnt – wollen wir dazu beitragen, das Bild des Fachs in der Öffentlichkeit zu verändern.

Dabei soll nicht nur deutlich werden, dass Mathematik ein wesentlicher Bestandteil der Kultur ist. Wir wollen auch belegen, dass sie mit Ihrer Lebenswirklichkeit, entgegen der allgemeinen Wahrnehmung, auf vielfältige Weise verknüpft ist. Insbesondere spielt sie in unerwarteten Zusammenhängen, wie in Kunst und Musik, eine oft verborgene Rolle.

Der Titel »Mathema« verweist auf die griechischen Wurzeln des Wortes »Mathematik«. Die Leitfrage »Ist Mathematik die Sprache der Natur?« geht auf ein berühmtes Zitat von Galileo Galilei zurück.

Die ersten vier der fünf Ausstellungsbereiche sind den Themen »Zahl«, »Raum«, »Funktion« und »Zufall« gewidmet. Das entspricht in groben Zügen der Art, wie die Mathematiker selbst ihr Fach zu gliedern pflegen.

Zahlen finden wir beispielsweise in der Kunst, der Musik, bei Längenverhältnissen in der Natur und bei der Verschlüsselung von geheimen Nachrichten.

Geometrie hilft uns die Struktur der uns umgebenden Welt – von den kleinsten Teilchen bis zu den Sternen – zu erfassen und zu beschreiben.

Funktionen dienen dazu, vor allem Bewegungen und Veränderungen aller Art auf den Begriff zu bringen. Die gesamte theoretische Physik baut auf dem Fundament auf, das Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz gelegt haben.

Der Zufall gehorcht, auch wenn er im Einzelfall unberechenbar ist, gewissen Gesetzen. Diese helfen uns nicht nur, unsere Chancen beim Glücksspiel einzuschätzen, sondern auch statistische Aussagen zu treffen und zu interpretieren sowie das Risiko bei Börsentransaktionen zu beurteilen.

Philosophische Fragen rund um die Mathematik werden im Eingangsraum und in der fünften Ausstellungsinsel »Ist Mathematik grenzenlos?« angesprochen. Es geht um die Grenzen unseres Verständnisses, um Unendlichkeit und Komplexität, um Glauben, Wahrheit und Wissen.

Ralf Bülow ist promovierter Mathematiker und wissenschaftlicher Projektmitarbeiter am Deutschen Technikmuseum Berlin.

In den einzelnen Ausstellungsbereichen werden auf so genannten Zeitbändern die historischen Entwicklungen aufgezeigt. Die mathematischen Kenntnisse der Menschen entwickelten sich auf Grund der sie umgebenden natürlichen, sozialen und wirtschaftlichen Bedingungen. Die verschiedenen Erkenntnisse führten letztendlich zu einer weltweit einheitlichen Wissenschaft.

Schon Albert Einsteins fragte sich: »Wie kann es sein, dass die Mathematik, die doch ein Produkt des freien menschlichen Denkens ist, den Dingen der Wirklichkeit so wunderbar angepasst ist?« Liegt der Ursprung der Mathematik in der Natur selbst verborgen, oder ist die Mathematik ein vom Menschen entwickeltes Instrument, um die Welt besser zu verstehen und sich nutzbar zu machen? Folgt unsere Welt verborgenen mathematischen Regeln? Sie selbst, verehrte Besucher, sind eingeladen, in der Ausstellung eine Antwort zu finden.

Eva Kudraß, M. A., ist Kulturwissenschaftlerin und wissenschaftliche Projektmitarbeiterin am Deutschen Technikmuseum Berlin.

Natürlich ist die Ausstellung ebenso wenig wie das vorliegende zugehörige Sonderheft das alleinige Werk der zwei Hauptakteure. Für Unterstützung und interessante Anregungen danken wir den Professoren Monika Kothe und Heinrich P. Godbersen von der Technischen Fachhochschule Berlin und ihren Studierenden, Jürgen Richter-Gebert von der Technischen Universität München, Ulrich Kortenkamp von der Pädagogischen Hochschule Schwäbisch Gmünd, Konrad Polthier von der Freien Universität Berlin und Albrecht Beutelspacher, dem Direktor des »Mathematikum« in Gießen. Hinter den Kulissen haben uns neben Ralf Bülow und Eva Kudraß, die auch Einführungsartikel für die Kapitel dieses Hefts verfasst haben, Michaela Schaare, Astrid Schröder, Christina Gratza, Henning Thiele und Fabian Lausen mit großem Einsatz unterstützt.

Wir hoffen, dass Sie die universale Sprache der Mathematik besser verstehen und auch ein wenig von ihrer Faszination und Schönheit erfassen.

Mit dem nächsten Winter? Mit den Leistungen einer Lebensversicherung? Mit den Fingern? Mit dem Computer? Ja – aber auf jeden Fall mit Zahlen. Ein langer, mühevoller Prozess war erforderlich, bis man die Zahlen vom Gezählten trennen und als abstrakte Objekte mit eigener Existenzberechtigung behandeln konnte.

Wie kamen die Zahlen in die Welt? Über Jahrtausende waren Anhäufungen von Kieselsteinen (lateinisch calculi, daher unser Wort »kalkulieren«) oder anderen Gegenständen Repräsentanten für das Gezählte. Im Irak fanden Wissenschaftler mehr als 1000 kleine Kugeln, die über 9000 Jahre alt sind. Sie wurden in einem verschlossenen Behältnis einer Warenladung beigefügt, damit der Empfänger die Vollständigkeit der Lieferung überprüfen konnte.

(ZAHL-)WÖRTER ERZÄHLEN GESCHICHTEN

Das Wort »Rechnen« lässt sich aus dem indogermanischen »reg« ableiten. Es bedeutete ursprünglich so viel wie »in Ordnung bringen«. Bemerkenswerterweise verwendeten die Araber das Wort al-jabr, »einrenken«, das wir als »Algebra« kennen, für das Auflösen einer Gleichung (Spektrum der Wissenschaft Spezial 2/2006 »Ethnomathematik«).

Der Knochen von Ishango ist die älteste überlieferte Aufzeichnung von Zahlzeichen.

Das Wort »Zahl« kommt von dem indogermanischen Wort für »Kerbe«. Kerben sind die ältesten uns bekannten Zahlendarstellungen. Sie befinden sich in über 30 000 Jahre alten Knochen (»Ethnomathematik«). Auch Höhlenzeichnungen stellen Gezähltes in Form von Einkerbungen, Strichen oder Fingerzahlen neben Tierzeichnungen dar. Die Idee von Zahlen als Kerben lebt in dem englischen Wort score fort, das nicht nur Kerbe, sondern auch Kerbholz und heute vor allem Punktzahl (bei einem Test oder einem Geschicklichkeitsspiel) bedeutet.

Vor 5000 Jahren verwendeten die Sumerer bereits Schriftzeichen und Zahlsymbole. Diese standen allerdings noch in einem direkten Zusammenhang zu den Dingen, die gezählt wurden. So gab es unterschiedliche Zahlensymbole für die Dokumentation von Getreide und Bier. Je nach Verwendungszweck waren sogar unterschiedliche Zahlensysteme in Gebrauch.

Überall auf der Welt kam der Mensch auf die Idee, so viele Dinge zu einer größeren Einheit zusammenzufassen, wie er Finger (oder Zehen) an einer Hand, an beiden Händen und an Händen und Füßen hat. Fünfersysteme finden sich bei den Chinesen und den Griechen, Zehnersysteme bei den Ägyptern und den Indern. Die Maya rechneten mit Zwanzigern. Ein anderer Teil der Zahlensysteme gründet sich auf Kalenderberechnungen, wie die Sechziger-Stufung der Sumerer und Babylonier.

Die Griechen waren überzeugt, dass alle Naturphänomene einem mathematischen Plan folgen. Bei der Suche nach diesem verborgenen Plan verwendeten sie, neben den Methoden der Geometrie, die Zahlentheorie. Zudem trennten sie die Zahlen von dem Gezählten und betrachteten sie als eigenständige Objekte.

Vor 2600 Jahren gingen die Pythagoräer davon aus, dass die Zahlen »Atome des Verstehens« sind. Nur wenn wir die Zahlen, die einem Sachverhalt zu Grunde liegen, erkennen, haben wir ihn verstanden. Die Pythagoräer entdeckten, dass zwei Saiten, deren Längen in einem einfachen, rationalen Zahlenverhältnis stehen, harmonisch klingende Töne erzeugen. Sie kannten auch das – irrationale – Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Es blieb nicht aus, dass sie spekulative, auch haltlose Ideen über die Wirklichkeit auf Zahlen aufbauten. Derartige Zahlenmystik findet sich auch in der Bibel.

Die Zahlzeichen sind bei den Griechen wie bei den Römern zugleich Buchstaben des Alphabets. Das System entspricht der Aufteilung des Abakus (des »Rechenbretts«), der mit ziemlicher Sicherheit dem Zahlensystem vorausging. Die Römer kannten zwar sprachliche Ausdrücke für »keines« (nullum) und »nichts« (nihil), aber kein Zahlzeichen und keinen eigenen mathematischen Begriff für einen Zahlenwert »null«. Verglichen mit unserem heutigen System war aus diesem Grund das Rechnen mit römischen Zahlen eine äußerst mühsame Angelegenheit. Kopfrechnen – vor allem das Multiplizieren – war ohne die Zuhilfenahme eines Rechenbretts praktisch nicht möglich.

Im Jahr 628 verfasste der indische Astronom und Mathematiker Brahmagupta das »Brahmasphutasiddhanta« (»Der Anfang des Universums«). Es ist, wenn man vom Zahlensystem der Maya absieht, der früheste bekannte Text, in dem die Null als vollwertige Zahl behandelt wird. Darüber hinaus stellte Brahmagupta in diesem Werk Regeln für die Arithmetik mit negativen Zahlen und mit der Zahl 0 auf, die schon weit gehend unserem modernen Verständnis entsprechen.

Die Araber übernahmen von den Indern das Stellenwertsystem mit der Null (siehe den folgenden Beitrag) und die Schreibweise der Ziffern. Auch die Techniken des algebraischen Rechnens lernten sie in Indien kennen und bildeten sie weiter aus. Sie übersetzten viele Mathematikwerke der griechischen Antike ins Arabische und trugen so zur wissenschaftlichen Entwicklung in Europa bei.

Erst im 13. Jahrhundert griffen die Europäer diese Errungenschaften auf. Der italienische Patrizier Leonardo von Pisa, besser bekannt unter dem Namen Fibonacci, schrieb 1202, nachdem er Griechenland, Ägypten und Syrien bereist hatte, das wichtige lexikografische Werk »Liber Abaci« (Rechenbuch), eine freie Übersetzung islamischer und griechischer Werke ins Lateinische. Damit machte er in einer Umgebung, in der noch wie zur Römerzeit auf Rechenbrettern gerechnet und das Ergebnis mit römischen Zahlen dokumentiert wurde, die indoarabischen Zahlen mit der Null, die Arithmetik und die Algebra bekannt.

In ganz Europa begannen nun Rechenmeister, mit Hilfe des neuen Zahlensystems das Rechnen zu vereinfachen und Abkürzungen und Zeichen einzuführen. Der bekannteste deutsche Rechenmeister ist Adam Ries.

Die großen Naturforscher Nikolaus Kopernikus (1473–1543), Galileo Galilei (1564–1642) und Johannes Kepler (1571–1630) öffneten der Mathematik ein neues und weites Feld. Es kam darauf an, die immer größer werdende Menge der Rechnungen zu vereinfachen und schnell auszuführen. Die von John Napier und Jost Bürgi entwickelten Logarithmen vereinfachten das Rechnen, und 1623 baute Wilhelm Schickard (1592–1635) für seinen Freund Johannes Kepler zur Berechnung der (scheinbaren) Planetenbahnen die erste bekannte Rechenmaschine der Welt. Leibniz entwickelte seine »Rechenbank«, eine Rechenmaschine, mit der die vier Grundrechenarten auszuführen sind, und erläuterte das Zahlensystem auf der Basis 2 (das binäre System oder auch Dualsystem genannt), das zur Grundlage unserer heutigen Computer wurde.

Diese Replik von Wilhelm Schickards Rechenmaschine steht im Deutschen Technikmuseum Berlin.

Getrieben durch äußere und innere Notwendigkeiten wurde der Zahlbegriff in mehreren Schritten erweitert. Dieser Prozess hat mit der Einführung der komplexen Zahlen einen Abschluss gefunden (siehe den folgenden Beitrag).

In der Schule hat sich die Mathematik mir als eine Wissenschaft der Ideen präsentiert, die unabhängig von Raum und Zeit in den Gehirnen der Mathematiker entsteht. Existiert die Idee in ihrer reinen Form aber noch, wenn der Denkende gestorben ist? Oder ist Mathematik in der Erfahrung verankert, und wenn ja, wie? Wie kommt es, dass die Mathematik »auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt?«, fragte sich bereits Albert Einstein. Weshalb hat das Konzept der Zahl eine weit über den mathematischen Bereich hinausreichende Bedeutung erlangt? Existieren die Zahlen unabhängig von uns? Haben Zahlen magische Kräfte?

Ohne Zweifel sind Zahlen eine Kulturleistung. Unsere mathematischen Fähigkeiten haben sich abhängig von unseren natürlichen und kulturellen Lebensbedingungen entwickelt. Wir konnten kopfrechnen und Landkarten lesen, weil uns das bei der Bewältigung des täglichen Lebens half, und verlernen es gerade wieder, dank Taschenrechner und Navigationssystem.

Um es mit einer klassischen Formel auszudrücken: Das Sein bestimmt das Bewusstsein insofern, als es einen Einfluss darauf hat, ob wir überhaupt Mathematik betreiben und wenn ja, zu welchem Zweck. Auf die Inhalte der Mathematik selbst hat es bemerkenswert wenig Einfluss. Die Gesetze des Rechnens und der Geometrie sind kulturunabhängig und überschritten im Lauf der Zeit sogar die Grenze zwischen Kulturen, die einander spinnefeind waren.

Viele Mathematiker betrachten sich nicht als Erfinder der Formeln und Gesetze, sondern als deren Entdecker, so wie Chemiker ein neues Element finden oder Physiker ein Naturgesetz. Sie erleben sich regelmäßig in der paradoxen Situation, dass die Produkte ihres eigenen Geistes ihnen gegenübertreten, als kämen sie von außen und hätten ein unabhängiges Eigenleben. Deswegen neigen sie dazu, die Gegenstände der Mathematik intuitiv nicht im eigenen Kopf, sondern im platonischen Ideenhimmel zu lokalisieren – obgleich sie für sich die Freiheit in Anspruch nehmen, diese Gegenstände nach eigenem Gutdünken zu definieren.

Auch wenn Pythagoras mit seiner Aussage »Alles ist Zahl« zu hoch gegriffen hat: Zahlen und ihre Verhältnisse sagen uns viel über unsere Welt. Nicht nur die im Kopf, sondern auch die da draußen.

MEYER, J.: Die Entwicklung der Zahlensysteme. Online unter www.rechenhilfsmittel.de/zahlen.htm.

Die wichtigste Errungenschaft, die unsere moderne Zahlenschreibweise erst möglich machte, war die Erfindung der Null. Viele Erweiterungen des Zahlbegriffs waren erforderlich, damit jede algebraische Gleichung eine Lösung hat.

Die ersten Zahlen 1, 2, 3, … sind noch ganz einfach auszudrücken. Man hebt Finger, legt Steinchen oder druckt Sternchen in der entsprechenden Anzahl aufs Papier. Hier sehen wir zum Beispiel die Fünf: ∗∗∗∗∗. Dieses Verfahren wird schnell unpraktisch, denn wir haben zu wenige Finger, und Steinchenhaufen oder Sternchenreihen werden bald unübersichtlich.

Schon in frühen Kulturen wurden deswegen andere Möglichkeiten erdacht. Die Babylonier fassten größere Zahlen zu Zwölfer- und Sechziger-Einheiten zusammen. Das war praktisch, denn wenn man eine große Zwölfer-Einheit in zwei, drei, vier oder sechs Teile teilt, kommen ganze Anzahlen in der kleinen Einheit heraus. Das gilt in noch höherem Maß für die Sechzig mit ihren vielen Teilern. Letzte Reste dieser antiken Art, Zahlen zu schreiben, sind bei der Zeit- und Winkelmessung bis heute erhalten geblieben.

Gut rechnen konnte man mit diesem System allerdings nicht, ebenso wenig mit anderen Systemen wie den römischen Zahlzeichen.

Erst nach vielen Versuchen hatte die Menschheit ein System, mit dem man nicht nur über alle – auch sehr große – Zahlen reden, sondern auch problemlos mit ihnen rechnen kann. Wir alle sind damit großgeworden: das Stellenwertsystem, und zwar zur Basis 10 (»Dezimalsystem«). Wir beschreiben eine konkrete Zahl, indem wir angeben, wie oft man eine 1, eine 10, eine 100 … braucht, um sie darzustellen.

706 ist damit die Abkürzung für: siebenmal die 100, nullmal die 10, sechsmal die 1. Wichtig ist dabei, dass man erstens auf die Reihenfolge achtet und zweitens die Zahl Null zur Verfügung hat. In der Schreibweise 706 steht die 7 nur deshalb für 700, weil sie an dritter Stelle von rechts steht. Deswegen kann man die Null an der zweiten Stelle nicht weglassen, während zum Beispiel die Römer einfach keine Zehner hinschrieben, wenn keine da waren. Es hat überraschend lange gedauert, bis die Bedeutung der Null sich herumgesprochen hatte. Bei den Indern hatte sie eine lange Tradition, die Europäer aber verwendeten bis zum Ende des Mittelalters die römischen Zahlen, die keine Null kennen.

Das Stellenwertsystem hat den großen Vorteil, dass man alle, auch die kompliziertesten Zahlenrechnungen auf das kleine Einmaleins zurückführen kann. Am Ende der Grundschulzeit weiß jeder, wie man auch große Zahlen addiert und multipliziert, ohne mehr zu beherrschen als die Additions- und Multiplikationsregeln für einstellige Zahlen. Rechenfertigkeiten, die lange Zeit nur Spezialisten beherrschten, wurden so zu einem Allgemeingut.

Warum aber ausgerechnet das Zehnersystem? Das liegt sicher daran, dass wir zehn Finger (einschließlich Daumen) haben, einen tieferen Grund gibt es nicht. Vom mathematischen Standpunkt aus sind andere Systeme völlig gleichwertig.

Es ist nicht einmal besonders schwierig, ein anderes System einzuführen. Das geht so:

Suchen Sie sich irgendeine Zahl n aus, die an Stelle der Zehn die Basis des neuen Systems bilden soll. Nehmen wir spaßeshalber die 13 und scheren uns nicht darum, dass diese Basis, weil sie keine echten Teiler hat, für den täglichen Gebrauch hoffnungslos unpraktisch wäre.

Wir brauchen nun Symbole für die Zahlen von 0 bis n − 1, das sind die möglichen Reste, die beim Teilen durch n übrig bleiben. Bei der Wahl der Symbole sind wir im Prinzip völlig frei; doch meist wählt man für die kleinen Reste die gewohnten Ziffern. Im Dreizehnersystem werden wir mit den Symbolen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C arbeiten.

Nun können wir beliebige Zahlen im neuen System darstellen. Um Verwechslungen mit dem Zehnersystem zu vermeiden, setzen wir eine Tilde ~ hinter die Zahldarstellung, wenn die mehr als eine Ziffer hat.

Wie viel ist zum Beispiel 4A∼? Eine zweistellige Zahl ist im Dreizehnersystem so zu interpretieren: Erste Ziffer mal 13 plus zweite Ziffer. 4A∼ ist also das gleiche wie 4 · 13 + A, und da A für die Zahl 10 in der Zehnerdarstellung steht, haben wir es mit 4 · 13 + 10 = 62 zu tun. Genauso ergibt sich, dass 33∼ der Zahl 3 · 13 + 3 = 42 entspricht. Geht es um dreistellige Zahlen, so ist die erste Ziffer mit 13 · 13 zu multiplizieren: 2B3∼ ist »eigentlich« 2 · 13 · 13 + 11 · 13 + 3, also gleich 484. Allgemein spielen in unserem System die Potenzen von 13 dieselbe Rolle wie im gewohnten Dezimalsystem die Zehnerpotenzen.

Der Brunnen des amerikanischen Minimalismus-Künstlers Walter de Maria im Innenhof der neuen Gemäldegalerie in Berlin ist aus kleinen Säulen gestaltet, die drei verschiedene Formen haben. Interpretiert man diese Formen als Ziffernsymbole im Dreiersystem, so findet man alle möglichen Kombinationen, also die Darstellungen aller Zahlen von 0 bis 3 · 3 · 3 · 1 = 26 in der Basis 3.

Falls das Dreizehnersystem wirklich einmal eingeführt werden sollte, sind die Grundschulkinder nicht zu beneiden. Das kleine Einmaleins ist nämlich weitaus umfangreicher als bei uns. Die Kinder müssen alle Produkte a · b auswendig wissen, wenn a und b irgendwelche Zahlen im Bereich 0, 1, …, 9, A, B, C sind. In den Lehrbüchern stehen dann 169 Gleichungen, darunter 3 · 3 = 9, 9 · 6 = 42∼, A · 4 = 31∼ (denn 4 · 10 = 3 · 13 + 1), 9 · C = 84∼ (denn 9 · 12 = 8 · 13 + 4). Nach der Grundschulzeit ist alles wieder einfach: Man kann mit beliebig großen Zahlen rechnen, ohne mehr zu wissen als das kleine Einmaleins.

Gebräuchlich sind heute neben dem Zehnersystem eigentlich nur die Systeme zur Basis 2 und zur Basis 16, das Dualsystem und das Hexadezimalsystem. Beides hat mit Computern zu tun. Das Dualsystem ist deswegen praktisch, weil es dort nur zwei Ziffern, nämlich 0 und 1, gibt und daher Zahlen in dieser Darstellung leicht in physikalische Zustände übersetzt werden können: nicht leitend, leitend. Im Zweiersystem besteht das kleine Einmaleins nur aus den vier Gleichungen 0·0=0, 0·1=0, 1·0=0, 1·1=1. Aber die Kinder haben nicht unbedingt Grund zum Jubeln, denn sie müssen sich mit langen Zahlen herumschlagen: Nach einem Schuljahr sind sie schon 111 oder gar 1000 (dezimal: 7 oder 8) Jahre alt, und für eine Kugel Eis müssen sie 110010 (dezimal: 50) Cent hinlegen.

Das Hexadezimalsystem entsteht, wenn man je vier Dualziffern zu einer neuen Ziffer zusammenfasst. Es werden 16 Symbole für die Ziffern benötigt; üblich sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Zweistellige Hexadezimalzahlen sind »eigentlich« nur eine andere Schreibweise für achtstellige Binärzahlen. Diese »Bytes« sind allgegenwärtig, wenn man es im Computer etwas genauer wissen möchte, wenn man also zum Beispiel verstehen will, was in einer JPG-, EXE- oder Midi-Datei steht, die man mit einem Texteditor geöffnet hat, oder wie eine Farbe im RGB-System kodiert ist.