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A469

Altuve Paredes, Miguel Alfonso, autor

Análisis y simulación de circuitos eléctricos en corriente continua / Miguel

Alfonso Altuve Paredes -- Medellín: UPB, Seccional Bucaramanga, 2019.

307 p.; 21.5 x 28 cm.

ISBN: 978-958-764-628-3 (versión Epub)

1. Circuitos eléctricos – 2. Voltaje – 3. Corriente continua – 4. Bobinas – 5. Condensadores -- I. Título

CO-MdUPB / spa / rda

SCDD 21 / Cutter-Sanborn

Vicerrectora Académica Seccional Bucaramanga: Ana Fernanda Uribe Rodríguez

Director de la Facultad de Ingeniería Electrónica y Eléctrica: Ómar Pinzón Ardila

Prohibida la reproducción total o parcial, en cualquier medio o para cualquier propósito sin la autorización escrita de la Editorial Universidad Pontificia Bolivariana.

Índice general

Prefacio

Este libro es el resultado de más de diez años de experiencia del autor impartiendo el curso Circuitos Eléctricos I en la Universidad Pontificia Bolivariana, seccional Bucaramanga y en la Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. La obra se propone como texto guía para ser trabajada a lo largo de un semestre académico de 16 semanas de duración en el curso denominado Circuitos Eléctricos I, incluido en el currículo de diversas ingenierías, como la eléctrica, la electrónica, la mecanotrónica o de telecomunicaciones.

El libro está compuesto por siete capítulos y cinco apéndices, y está estructurado de manera que cada capítulo depende del anterior; por lo tanto es recomendable no obviar ningún capítulo. Los saberes previos que debe tener el estudiante para comprender el contenido de este libro son: física eléctrica, derivadas e integrales, ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, y álgebra lineal.

En el capítulo I, se presenta el sistema de unidades y se definen conceptos fundamentales como carga, corriente, voltaje y potencia. También se describen la resistencia eléctrica, la ley de Ohm, el código de colores de resistencias, y las fuentes de voltaje y corriente, tanto dependientes como independientes. Al final del capítulo se describe el uso de instrumentos de medida, como amperímetro, voltímetro, osciloscopio, etc., para medir y observar las variables en un circuito eléctrico.

El capítulo II define las conexiones entre los elementos (rama, nodo, lazo, serie y paralelo) y se enfoca en las leyes básicas para el análisis de circuitos eléctricos: la ley de corriente de Kirchhoff y la ley de voltaje de Kirchhoff. También se presentan los principios del divisor de corriente y del divisor de voltaje.

Dos técnicas fundamentales para analizar circuitos eléctricos se presentan en el capítulo III. Estas son: el análisis de voltaje de nodos y el análisis de corrientes de lazo. Para facilitar la solución del sistema de ecuaciones resultantes se usa un análisis matricial. Se propicia el uso del software MATLAB^® (MATrix LABoratory) para resolver el sistema de ecuaciones resultantes y hallar los valores de las variables incógnitas. Por otro lado, el software PSpice^® 9.1 Student Version también se introduce, en este capítulo, para simular los circuitos eléctricos y comparar el resultado simulado con el resultado analítico.

El capítulo IV está dedicado a la utilización de teoremas para analizar circuitos eléctricos. En primer lugar, se presenta la aplicación del principio de superposición, para facilitar el análisis de circuitos eléctricos con varias fuentes que alimentan el circuito. Posteriormente, se describe el proceso de transformación de fuentes, el teorema de Thévenin, el teorema de Norton, y el teorema de máxima transferencia de potencia.

En el capítulo V se presentan los condensadores y las bobinas, elementos pasivos que almacenan energía. Los circuitos resistivos, analizados en los capítulos anteriores, son circuitos estáticos, representados por ecuaciones algebraicas, mientras que los circuitos eléctricos compuestos por condensadores y bobinas son circuitos dinámicos, y están representados por ecuaciones diferenciales. En este capítulo se analizan estos componentes en régimen permanente o estado estable, y se determina la energía almacenada en estos elementos de circuitos.

El capítulo VI se dedica al análisis de la respuesta de los circuitos RC y RL cuando hay un cambio abrupto de corriente o voltaje. Estos circuitos se denominan circuitos de primer orden, dado que la aplicación de las leyes de Kirchhoff da por resultado una ecuación diferencial de primer orden (se obtiene una ecuación algebraica como cuando el circuito es netamente resistivo).

En el capítulo VII se analiza la respuesta de los circuitos de segundo orden RLC en sus configuraciones en serie y en paralelo, cuando su respuesta depende de las condiciones iniciales de los elementos de almacenamiento (caso sin fuente) y cuando su respuesta depende de una fuente de excitación de voltaje o corriente de tipo escalón unitario (caso con fuente de corriente continua).

En la bibliografía, al final del libro, se presenta una serie de libros de referencia, ampliamente utilizados en la enseñanza de circuitos eléctricos, tanto en corriente continua como en corriente alterna. También se indican libros de texto de MATLAB^® y PSpice^® que pueden ser consultados por el lector para adquirir mayores destrezas en el uso de esos programas informáticos.

Se han incluido cinco apéndices para complementar la información presentada a lo largo del libro de texto. En el primer apéndice se realiza una descripción del software MATLAB^® como herramienta para el análisis de los circuitos eléctricos¹. En el segundo apéndice se describe el uso del software PSpice^® 9.1 Student Version para simular los circuitos eléctricos. Los últimos tres apéndices están dedicados a mostrar los valores comerciales de los resistores, condensadores y bobinas, respectivamente.

En este libro el estudiante se expone por primera vez al cambio de paradigma de la física a la ingeniería, dejando a un lado la explicación de los fenómenos físicos eléctricos para dedicarse a aceptar esos fenómenos y utilizarlos en el análisis de circuitos eléctricos, lo que no es más que la obtención, de manera analítica, de las variables corriente y voltaje. Las demostraciones de leyes y teoremas, así como las deducciones de expresiones matemáticas, han sido obviadas en este libro de texto. Estas pueden ser consultadas en los libros de referencia que se mencionan al final, en la bibliografía. Por otro lado, en comparación con otros libros de circuitos eléctricos, muchos de los problemas propuestos y resueltos en este tienen una gran dificultad. La simulación de dichos circuitos usando PSpice^® es una ayuda fundamental para corroborar la solución analítica en estos casos de gran complejidad.

Escribir este libro no habría sido posible sin el apoyo de muchas personas. En primer lugar quiero expresar mi gratitud a mi esposa Rosana, por su paciencia, comprensión y tolerancia. Además, agradezco la ayuda de mis colegas de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. También deseo agradecer a las personas de la UPB, seccional Bucaramanga quienes contribuyeron a que esta obra fuera posible: Raúl Restrepo, exdirector de la Facultad de Ingeniería Electrónica, Omar Pinzón, director de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Luis Felipe Casas, exvicerrector académico, Ana Fernanda Uribe, vicerrectora académico, y Ginette Rocío Moreno, profesional de divulgación científica.

Finalmente, este libro se debe a un gran número de revisores que dedicaron tiempo y esfuerzo para realizar críticas y sugerencias a esta edición. Sin embargo, a pesar de las incontables horas dedicadas a la preparación de este documento, es inevitable que aún existan errores, tanto en el texto como en los ejercicios. Es por ello que las críticas, correcciones y sugerencias serán bien recibidas y tomadas en cuenta para una futura edición de esta obra. Estas pueden ser enviadas a mi correo electrónico miguel.altuve@upb.edu.co.

Acerca del autor

Miguel Alfonso Altuve Paredes es profesor asociado (2015-actual) de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Universidad Pontificia Bolivariana, seccional Bucaramanga, Colombia.

En adición, fue profesor agregado (2005-2014) del Departamento de Tecnología Industrial de la Universidad Simón Bolívar sede del Litoral, Camurí Grande, Venezuela, y profesor instructor tanto en la Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Aérea Nacional (2003-2005) como en la Universidad Bicentenaria de Aragua (2003-2004), ambas ubicadas en Maracay, Venezuela. También ha desempeñado varios cargos administrativos, tales como: coordinador de la Maestría en Ingeniería Electrónica (2016-actual) de la Universidad Pontificia Bolivariana, seccional Bucaramanga; coordinador de investigación y desarrollo (2012-2014) en el área de Ciencias Básicas y Tecnológicas de la Universidad Simón Bolívar, sede del Litoral, Camurí Grande, Venezuela, institución en la que además ocupó el cargo de coordinador de tecnología eléctrica y electrónica (2011 – 2012).

El profesor Altuve obtuvo el grado de Doctor en Tratamiento de Señales y Telecomunicaciones (2011), mención Honorable, en la Universidad de Rennes 1, Francia; el grado de Magíster en Ingeniería Electrónica (2006) en la Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela, y el título de Ingeniero Electrónico (2002), mención Comunicaciones, en la Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada, Maracay, Venezuela.

Las actividades de docencia del Dr. Altuve se enfocan en las áreas de circuitos eléctricos, circuitos electrónicos, aprendizaje automático, procesamiento digital de señales e imágenes, procesamiento de señales biomédicas, señales y sistemas, bioelectricidad, y comunicaciones analógica y digital.

El Dr. Altuve es IEEE Senior Member y reconocido por Colciencias como investigador asociado. Además, forma parte del panel de revisores de varias revistas y congresos internacionales, tales como: Medical & Biological Engineering & Computing, Digital Signal Processing, IEEE Journal of Biomedical and Health Informatics, Computers in Biology and Medicine, International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society, International Conference on Biomedical and Health Informatics, etc. Sus actividades de investigación se centran en el procesamiento digital de señales biomédicas y en la utilización de herramientas de aprendizaje automático en el campo de la medicina.

Capítulo 1

Conceptos básicos

En este primer capítulo se presentan las unidades fundamentales utilizadas en el campo de la electricidad y la electrónica, se definen las variables usadas en el análisis de circuitos eléctricos, se presentan las resistencias y las fuentes de voltaje y de corriente, y se describen los instrumentos usados para medir las variables de interés en un circuito eléctrico.

1.1. Sistema de unidades

El sistema de unidades adoptado en todos los países del mundo, a excepción de algunos países como los Estados Unidos de América, Birmania y Liberia, es el Sistema Internacional de Unidades, comúnmente conocido como SI. Este consta de siete unidades básicas, tal como se muestra en la tabla 1.1, a partir de las cuales se derivan el resto de las unidades.

Para nombrar a los múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI, tanto de unidades básicas como derivadas, se utilizan prefijos basados en potencias de 10. Estos prefijos se muestran en la tabla 1.2. Por ejemplo, dado que kilo es el prefijo para 1000, entonces 1 kilómetro es igual a 1000 metros o dicho de otra manera: 1 km = 1000 m. El símbolo del prefijo debe colocarse en frente del símbolo de la unidad, como en mm por milímetro y µA por microamperio.

2. Operando directamente sobre los valores de los exponentes, restando los exponentes de la tabla 1.2:

Solución: Al igual que en el ejemplo anterior, se llegará a la unidad deseada de dos maneras distintas:

1.2. Circuito eléctrico

En el análisis de circuitos eléctricos, los elementos eléctricos son abstracciones conceptuales que representan componentes eléctricos idealizados, como resistores, condensadores y bobinas. Los elementos eléctricos no existen físicamente y tienen propiedades ideales mientras que los componentes eléctricos sí existen físicamente y tienen propiedades distintas a las ideales. Los elementos eléctricos pueden ser pasivos o activos, lineales o no lineales. Estos conceptos serán esclarecidos más adelante.

Se puede definir un circuito eléctrico como una interconexión de elementos eléctricos, unidos entre sí en una vía cerrada, de modo que pueda circular una corriente eléctrica. Los circuitos eléctricos han sido usados para resolver innumerables problemas de la sociedad y para mejorar la calidad de vida de las personas. Las aplicaciones de los circuitos eléctricos van desde una simple linterna (baterías, cables y bombillo) hasta la construcción de la nave espacial New Horizons de la NASA¹ utilizada para explorar Plutón.

Los circuitos eléctricos se usan en la generación, transmisión y consumo de la energía eléctrica, así como en el almacenamiento, transmisión y procesamiento de la información.

1.3. Carga eléctrica

La carga eléctrica es una propiedad física intrínseca de las partículas subatómicas de la materia. En el SI, la carga eléctrica se mide en culombio y se utiliza el símbolo C para referirse a la unidad de la carga eléctrica. El símbolo de la cantidad de carga eléctrica es Q o q.

Positiva, representada por partículas subatómicas llamadas protones y con carga eléctrica fundamental e, aproximadamente igual a 1,602176 × 10⁻¹⁹ C. El símbolo utilizado para referirse al protón es p o p⁺.

Negativa, representada por partículas subatómicas llamadas electrones y con carga eléctrica fundamental −e, aproximadamente igual a −1,602176×10⁻¹⁹ C. El símbolo utilizado para referirse al electrón es e⁻ o β⁻.

De lo anterior se puede deducir que −1 C es la cantidad de carga que hay en 6,24×10¹⁸ electrones (6,24 exaelectrones) y 1 C es la cantidad de carga que hay en 6,24×10¹⁸ protones (6,24 exaprotones).

Por otro lado, también se tiene que las cargas del mismo signo se repelen entre sí mientras que las cargas de signos opuestos se atraen entre sí.

Ejemplo 1.3.2. ¿Cuántos protones se necesitan para obtener una carga de 20,3 µC?

1.4. Corriente eléctrica

Si la carga eléctrica fluye en un circuito eléctrico, es decir, la carga se mueve de un punto a otro, entonces se produce una corriente eléctrica en el circuito eléctrico. La corriente eléctrica o intensidad eléctrica se define como la velocidad de cambio de la carga eléctrica con respecto al tiempo:

La unidad del SI de la corriente eléctrica es el amperio y se utiliza el símbolo A para referirse a la unidad de la corriente eléctrica. El símbolo de la cantidad de corriente eléctrica es I, para una corriente constante, e i o i(t), para una corriente variable en el tiempo.

Por otro lado, se define como corriente continua (cc) a una corriente eléctrica que permanece constante en el tiempo mientras que se define como corriente alterna (ca) a una corriente que varía sinusoidalmente en el tiempo. Este libro está dedicado al análisis de los circuitos en cc.

De la expresión 1.1 se desprende que si 1 C de carga eléctrica fluye por un punto dado en un conductor durante 1 s, entonces la corriente resultante será de 1 A, es decir,

La corriente eléctrica tiene una dirección asociada y esta es por convención igual al movimiento de cargas positivas, es decir, de los protones. No obstante, son los electrones (cargas negativas) los que producen la corriente eléctrica.

En un diagrama de circuito eléctrico, cada corriente I o i(t) debe tener asociada una flecha para indicar la dirección de referencia de la circulación de la corriente (dirección del flujo de corriente positiva), tal como se observa en la figura 1.1, sin embargo la dirección indicada puede no necesariamente ser la dirección del flujo real.

Figura 1.1: Dirección de referencia de la corriente eléctrica en un circuito eléctrico.

Si se conoce la corriente eléctrica, entonces la carga eléctrica transferida entre el tiempo t₀ y t se obtiene como:

Ejemplo 1.4.1. Determine la corriente eléctrica que circula por un elemento de circuito en t = 2 s, si la carga eléctrica que entra a la terminal está dada por q(t) = t(t − 3) C.

Ejemplo 1.4.2. Determine la corriente eléctrica que circula por un elemento de circuito entre t = 1 s y t = 3 s, si la carga eléctrica que entra a la terminal viene dada por q(t) = 4t(t–0,5) C.

En t = 1 s, i(1) = 6 A, y en t = 3 s, i(3) = 22 A. Por lo tanto, la corriente que circula entre 1 y 3 segundos es i = 22 − 6 = 16 A.

Ejemplo 1.4.3. Determine la carga total que entra a una terminal de un elemento del circuito eléctrico entre t = 3 s y t = 5 s, si la corriente eléctrica que circula por la terminal viene dada por i(t) = 3 cos(2πt) + 2 A.

1.5. Voltaje

Al igual que la corriente eléctrica, el voltaje o tensión eléctrica es una magnitud física y, junto a la corriente eléctrica, son las variables básicas en un circuito eléctrico. El voltaje entre dos puntos, también llamado diferencia de potencial, es el trabajo (energía) requerido para mover una carga positiva de un punto a otro. De esta manera, la expresión matemática del voltaje entre los puntos a y b en un circuito eléctrico es:

La unidad del SI del voltaje es el voltio y se usa el símbolo V para la unidad. El símbolo de la cantidad es V para un voltaje de cc, como el producido por una batería, y v o v(t) para un voltaje de ca, como el producido por un generador eléctrico.

En un diagrama de circuito eléctrico, el voltaje de un elemento se representa con una polaridad que se indica con un signo positivo (+) en un punto a, y con un signo negativo (−) en un punto b, tal como se observa en la figura 1.2. En el ejemplo mostrado en esta figura, existe una tensión de 3 V o aumento de potencial de b a a (el punto a tiene 3 V más que el punto b) o, equivalentemente, una tensión de 3 V o caída de potencial de a a b.

1.6. Potencia y energía

La energía es la capacidad para realizar un trabajo. La unidad del SI de la energía es el julio y se usa símbolo J para la unidad. La velocidad a la que un elemento eléctrico absorbe o produce energía es la potencia absorbida o producida y está representada por la siguiente ecuación:

La unidad del SI de la potencia es el vatio y se usa el símbolo W para la unidad. El símbolo de la cantidad es P para una potencia constante y p para una potencia variable en el tiempo.

Según la convención pasiva de signos, si la flecha de la corriente de referencia entra por la terminal positiva del elemento de circuito, como se observa en la figura 1.3, la potencia absorbida por el elemento, tanto para cc como para ca, es el producto de voltaje y corriente:

en caso contrario, la potencia absorbida por el elemento, tanto para cc como para ca, sería P = −V × I.

Figura 1.3: Polaridad utilizada para el cálculo de la potencia de un elemento usando la convención pasiva de signos.

Se dice que el elemento absorbe potencia si el valor de P o p es positivo, con cualquiera de las dos fórmulas, mientras que el elemento suministra potencia si P o p es negativo.

La energía eléctrica absorbida (o suministrada) por un elemento durante el tiempo en el cual se produce esta entrada (o salida) es:

Las empresas de servicios eléctricos venden energía eléctrica a los clientes. Estas empresas no utilizan el julio como una unidad de energía sino el kilovatio-hora (kWh). El número de horas de kilovatios consumidos es igual al producto de la potencia absorbida, en kilovatios, y el tiempo, en horas, durante el cual se absorbe: W (kilovatio − hora) = P (kilovatio) × t(hora).

Ejemplo 1.6.1. Determine la potencia absorbida por el elemento de la figura 1.3 y la energía absorbida durante los primeros 300 ms, si el voltaje entre sus terminales es V = 9 V y la corriente que circula por este es I = 5 mA.

Solución: Dado que la corriente y el voltaje en el elemento se apegan a la convención pasiva de signos, la potencia absorbida por el elemento es:

Ejemplo 1.6.2. Un dispositivo electrónico se carga con una corriente constante de 700 mA durante 9 horas. El voltaje en las terminales del dispositivo viene dado por v(t) = 5+0,2t V para t > 0, donde t se expresa en horas. Si la energía eléctrica tiene un costo de 18 centavos/kWh, determine el costo de cargar completamente el dispositivo.

1.7. Elementos de circuitos

Como se mencionó anteriormente, los elementos en los circuitos eléctricos pueden ser pasivos o activos. Un elemento activo genera energía² al circuito eléctrico mientras que uno pasivo absorbe energía³. Ejemplos de elementos activos son las fuentes de tensión y las fuentes de corriente, mientras que los resistores, condensadores y bobinas son elementos pasivos. A continuación se describirán los resistores y las fuentes; los condensadores y las bobinas serán tratados a partir del capítulo 5.

1.7.1. Resistor

La resistividad es la propiedad de un elemento de impedir el movimiento de electrones y hace que sea necesario aplicarle un voltaje para provocar que la corriente eléctrica fluya a través del elemento, o de manera inversa, inducir una corriente eléctrica a través del elemento para que se cree voltaje en sus terminales.

Desde el punto de vista de los circuitos eléctricos, la resistividad es la resistencia eléctrica del elemento y depende de su geometría. La unidad del SI de la resistencia es el ohm, en honor al físico y matemático alemán Georg Simon Ohm (16 de marzo de 1789 6 de julio de 1854), y se usa el símbolo Ω (letra griega omega mayúscula). El símbolo de la cantidad es R.

El inverso de la resistencia es la conductancia y el símbolo de la unidad es

. La unidad del SI de la conductancia es el siemens y se usa el símbolo S; anteriormente se usaba la unidad de mho con el símbolo

(omega invertida).

Un resistor es un elemento de circuito que tiene una resistencia R. El símbolo de circuito de un resistor lineal se muestra en la figura 1.4. En un resistor existe una relación algebraica entre su voltaje instantáneo y corriente instantánea conocida como ley de Ohm:

Figura 1.4: Símbolo de un resistor lineal en un diagrama de circuito eléctrico.

Una resistencia infinita (R → ∞ Ω) se puede representar como un circuito abierto, en consecuencia, la corriente eléctrica a través de este elemento sería nula (0 A) para cualquier valor de voltaje aplicado en las terminales del elemento. Por el contrario, un cortocircuito corresponde a una resistencia nula (R → 0 Ω) y tiene un voltaje de cero en sus terminales, para cualquier valor de corriente que circule por este.

Los elementos del circuito son unidos usando un cable conductor, el cual tiene una resistencia eléctrica muy pequeña (R → 0 Ω) y por lo tanto se suele despreciar. La resistencia eléctrica de un resistor o de un conductor depende de su geometría, del material utilizado en su construcción, y de la temperatura de operación, y viene expresada por:

donde ℓ corresponde a la longitud del conductor, A es el área de la sección transversal y ρ es la resistividad del elemento, para una temperatura específica; todas estas variables expresadas en unidades del SI. En la tabla1.3 se presentan los valores de resistividad de algunos materiales para una temperatura de operación de 20°C.

Los resistores pueden ser construidos de compuesto de carbón, película de carbón, película de metal y embobinado. Los resistores de compuesto de carbón y de película de carbón son los más populares. Estos tienen impresos unas franjas de color (tres o cuatro franjas), alrededor de la carcasa del resistor, con el fin de identificar el valor y la tolerancia de la resistencia, tal como se muestra en la figura 1.5. Las resistencias de composición de carbono tienen tolerancias típicas de 20 %, 10 % y 5 %, lo que significa que las resistencias reales pueden variar de los valores nominales hasta en un ±20 %, ±10 % y ±5 %. En el apéndice C se presenta una tabla con los valores comerciales estándar de resistores con una tolerancia de 5 %.

Los colores mostrados en la tabla 1.4 sirven para determinar el valor de la resistencia. El valor nominal de la resistencia viene dado por el color de las primeras dos bandas multiplicado por el color de la tercera banda. La cuarta banda indica la tolerancia de la resistencia.

Figura 1.5: Resistor de película de carbón o de compuesto de carbón. Se observan las cuatro franjas usadas para estimar el valor de la resistencia. Para este caso, el valor de la resistencia, según el código de colores rojo, anaranjado, rojo y dorado, es 2,3 kΩ ± 5 %.

Ejemplo 1.7.1. Los siguientes ejemplos muestran la utilización del código de colores para hallar el valor de la resistencia.

Cantidad física	Unidad	Símbolo
Longitud	metro	m
Masa	kilogramo	kg
Tiempo	segundos	s
Corriente eléctrica	amperio	A
Temperatura termodinámica	kelvin	K
Cantidad de sustancia	mol	mol
Intensidad luminosa	candela	cd

Multiplicador	Prefijo	Símbolo
10²⁴	yotta	Y
10²¹	zetta	Z
10¹⁸	exa	E
10¹⁵	peta	P
10¹²	tera	T
10⁹	giga	G
10⁶	mega	M
10³	kilo	k
10²	hecto	h
10¹	deca	da
10⁰
10⁻¹	deci	d
10⁻²	centi	c
10⁻³	mili	m
10⁻⁶	micro	µ
10⁻⁹	nano	n
10⁻¹²	pico	p
10⁻¹⁵	femto	f
10⁻¹⁸	atto	a
10⁻²¹	zepto	z
10⁻²⁴	yocto	y

Material	ρ (Ωm)
Plata	1,59 × 10⁻⁸
Cobre	1,68 × 10⁻⁸
Oro	1,72 × 10⁻⁸
Aluminio	2,65 × 10⁻⁸
Tungsteno	5,6 × 10⁻⁸
Níquel	6,99 × 10⁻⁸
Litio	9,28 × 10⁻⁸
Hierro	9,71 × 10⁻⁸
Platino	10,6 × 10⁻⁸
Mercurio	98 × 10⁻⁸
Vidrio	De 1 × 10⁻⁹ a 1 × 10¹³
Caucho	De 1 × 10¹³ a 100 × 10¹³
Madera (seca)	De 1 × 10¹⁴ a 1 × 10¹⁶
Aire	De 1,3 × 10¹⁶ a 3,3 × 10¹⁶
Teflón	De 10 × 10²² a 10 × 10²⁴

Color	1era banda	2da banda	3era banda	4ta banda
Negro		0	10⁰
Marrón	1	1	10¹	1 %
Rojo	2	2	10²	2 %
Anaranjado	3	3	10³
Amarillo	4	4	10⁴
Verde	5	5	10⁵
Azul	6	6	10⁶
Violeta	7	7	10⁷
Gris	8	8
Blanco	9	9
Dorado			10⁻¹	5 %
Plateado			10⁻²	10 %