image Image Image

Castañeda Hernández, Sebastián.

Manual de Álgebra líneal / Sebastián Castañeda Hernández, Agustín Barrios Sarmiento, Ismael Gutiérrez García. – Barranquilla, Colombia : Editorial Universidad del Norte, 2017.

viii, 218 p. : il. ; 24 cm.

Incluye referencias bibliográficas

ISBN 978-958-741-847-7 (impreso)

ISBN 978-958-741-848-4 (pdf)

ISBN 978-958-741-848-4 (ePub)

1. Álgebras lineales. I. Barrios Sarmiento, Agustín. II. Gutiérrez García, Ismael. I.tít.

(512.5 C346 ed. 23) (CO-BrUNB)

Image

Vigilada Mineducación

www.uninorte.edu.co

Km 5, vía a Puerto Colombia, A.A. 1569

Área metropolitana de Barranquilla (Colombia)

© Universidad del Norte, 2017

Sebastián Castañeda Hernández, Agustín Barrios Sarmiento,

Ismael Gutiérrez García

Coordinación editorial

Zoila Sotomayor O.

Diagramación

Sebastián Castañeda Hernández

Diseño de portada

Joaquín Camargo Valle

Corrección de textos

Nury Ruiz Bárcenas

© Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio reprográfico, fónico o informático, así como su transmisión por cualquier medio mecánico o electrónico, fotocopias, microfilm, offset, mimeográfico u otros sin autorización previa y escrita de los titulares del copyright. La violación de dichos derechos constituye un delito contra la propiedad intelectual.

LOS AUTORES

SEBASTIÁN CASTAÑEDA HERNÁNDEZ

Licenciado en Matemáticas de la Universidad

del Atlántico (Colombia). Magíster en Ciencias

matemáticas de la Universidad del Valle en

convenio con la Universidad del Norte

(Colombia). Docente de tiempo completo del

departamento de Matemáticas y Estadística de

la Universidad del Norte desde 1988. Ha

publicado con la Editorial Universidad del

Norte varios textos de álgebra lineal, así como

de fundamentos de matemáticas y teoría de

números.

AGUSTÍN BARRIOS SARMIENTO

PhD de la Facultad de Matemáticas de la

Universidad de Valencia (España). Profesor

asociado de la Universidad del Norte

(Colombia), adscrito al Departamento de

Matemáticas y Estadística. Su principal línea de

investigación es la Optimización que le permite

construir modelos que recrean situaciones

reales, entre las que se encuentran: procesos de

fabricación por lotes, construcción de

infraestructuras, mantenimiento de sistemas

complejos y desarrollo e introducción en el

mercado de nuevos productos, entre otros.

ISMAEL GUTIÉRREZ GARCÍA

PhD en Ciencias Naturales de la Universidad

Johannes Gutenberg de Mainz (Alemania).

Magíster en Matemáticas de la Universidad del

Valle (Colombia) y licenciado en Matemáticas y

Física de la Universidad del Atlántico

(Colombia). Profesor-investigador de la

Universidad del Norte (Colombia). Posee una

amplia experiencia como docente universitario

y además ha liderado proyectos de investigación

en el área de matemáticas discretas y sus

aplicaciones, concretamente en teoría clásica de

códigos y en códigos de subespacios.

Contenido

Prólogo

Capítulo 1 Preliminares

1.1 Introducción

1.2 El concepto de estructura algebraica

1.3 La estructura de campo

Capítulo 2 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

2.1 Introducción

2.2 El espacio ℝn

2.3 Sistemas de ecuaciones lineales

2.3.1 La ecuación lineal

2.3.2 Sistemas de ecuaciones lineales

2.3.3 Técnicas de eliminación

2.4 Espacio dematrices sobre el campo real

2.4.1 Transposición y productomatricial

2.4.2 Ecuaciones matriciales. Matrices invertibles

2.5 Apéndice

2.5.1 Ecuaciones lineales diofantinas

2.5.2 Uso de Máxima

Capítulo 3 La extensión del concepto de determinante

3.1 Introducción

3.2 Productos elementales y la definición de determinante

3.3 Otras propiedades del determinante

Capítulo 4 Sistemas homogéneos. Subespacios de ℝn

4.1 Introducción

4.2 Subespacios de ℝn y generadores

4.2.1 Dependencia e independencia lineal

4.3 Norma vectorial. Ortogonalidad

4.3.1 Valores y vectores propios de unamatriz

Capítulo 5 Vectores en ℝ2 y en ℝ3

5.1 Introducción

5.2 Sistema coordenado cartesiano rectangular en ε3

5.3 Segmentos dirigidos en εn

5.4 Aplicaciones geométricas

5.4.1 Colinealidad y ecuaciones vectoriales de rectas

5.4.2 Ecuaciones vectoriales de planos

5.4.3 Proyecciones ortogonales, distancia de un punto a una recta o a un plano

5.4.4 Otras aplicaciones

Apéndice A El símbolo sumatorio

Apéndice B Alfabeto griego

Apéndice C Aplicaciones en códigos de bloque

C.1 Los parámetros de un código

C.2 Los parámetros de un código lineal

Bibliografía

Prólogo

El presente texto puede considerarse como una simplificación del libro “Introducción al Álgebra Lineal” [3], de dos de los autores de este manual. Aquí se presenta un material mínimo para desarrollar en un semestre con tres horas semanales presenciales. La idea básica es que el texto sea utilizado como material de lectura obligatoria para los estudiantes, incluyendo lecturas en algunas sesiones presenciales en las cuales como control se entreguen tareas individuales o en parejas, a criterio del profesor. En ese sentido el manual incluye tareas de entrega obligatoria por parte del estudiante.

El contenido cubierto por el manual, como se puede apreciar, es el básico en un primer curso de álgebra lineal dirigido a estudiantes de primer semestre de Ingeniería, Economía, Administración de empresas, o programas donde la asignatura sea electiva. Para estudiantes de Ciencias (Física o Matemáticas, especialmente) el profesor podrá recomendar la profundización de los temas en el texto citado [3] o en otros textos adecuados. El capítulo uno introduce la definición de operación binaria y, en particular, la de ley de composición interna, a partir de ejemplos familiares que permitan una fácil comprensión a través de la lectura individual para el estudiante. Se introducen también las definiciones de las estructuras algebraicas básicas sobre las cuales se construye la estructura principal: la de espacio vectorial.

El capítulo dos aborda el estudio de los sistemas lineales y de las matrices sobre el campo real. Se introduce inicialmente la estructura de espacio vectorial de ℝn así como el producto escalar y el producto matricial como herramientas teóricas importantes en el estudio de ecuaciones y sistemas lineales. En este mismo capítulo, en su apéndice, se muestra el caso de las ecuaciones lineales diofantinas y se sugiere el uso de software libre específico para cálculos en álgebra lineal. Se incluye también un primer acercamiento al concepto de determinante, para el caso de sistemas 2 × 2. Tal concepto será extendido en el capítulo tres a matrices n × n. Por razones de brevedad en la exposición, el desarrollo del material relativo a determinantes se limita en buena parte a presentar los resultados más importantes, citando el texto base de este manual.

El capítulo cuatro se dedica a los sistemas homogéneos y a los subespacios de ℝn, aprovechando el contexto para introducir con rigurosidad los conceptos de base y dimensión de subespacios de ℝn. Se cierra el capítulo con los conceptos de norma y vectores unitarios, introduciendo las definiciones de ángulo entre vectores, paralelismo y dirección desde un punto de vista algebraico. Estos conceptos serán interpretados geométricamente en el capítulo cinco, dedicado a los vectores en ℝ2 y ℝ3 y a las aplicaciones geométricas de los resultados antes obtenidos.

Se incluyen, además del correspondiente al capítulo dos, tres apéndices al final. En el apéndice A, se hace una breve presentación del símbolo sumatorio y sus principales propiedades y en el B se presenta el alfabeto griego. En el apéndice C se presenta una breve introducción a la Teoría de códigos, de suma importancia en la teoría de la información. Básicamente, el objetivo de la teor ía de códigos es codificar información que se transmite a través de canales “ruidosos”; es decir, susceptibles de distorsionar la información ya sea por razones internas o externas (por acción de terceros). Es entonces necesario que el mensaje sea codificado adecuadamente de manera que se pueda verificar su autenticidad y detectar posibles errores o distorsiones y corregirlos, de ser posible. En tal sentido, los códigos lineales (subespacios de Imagen, siendo Image un campo finito) juegan un papel importante.

Finalmente, agradecemos cualquier comentario, sugerencia o corrección que consideren necesarios para mejorar la presente edición. Los autores.

scasta@uninorte.edu.co

abarrios@uninorte.edu.co

isgutier@uninorte.edu.co

CAPÍTULO 1

Preliminares

1.1 Introducción

El Álgebra, hablando en términos rudimentarios pero modernos, es la disciplina matemática dedicada al estudio de las denominadas estructuras algebraicas. Una estructura así está formada básicamente por un conjunto no vacío y una o más operaciones definidas sobre ese conjunto. El Álgebra Lineal, también en términos generales, tiene como objeto de estudio principal cierto tipo de estructura conocida como espacio lineal o espacio vectorial. En esta primera sección presentamos las definiciones de operación (especialmente las denominadas binarias) y de las estructuras algebraicas básicas: semigrupos, monoides, grupos, anillos y campos. En el capítulo dos, en particular, se hace una primera presentación de la estructura de espacio vectorial en un ejemplo específico. Tal definición se hará desde la perspectiva matemática o algebraica y en un capítulo posterior se relacionará con la noción física o geométrica de vector con la cual seguramente los lectores, aún los principiantes, tendrán alguna familiaridad. Iniciamos justamente con el concepto de estructura algebraica.

1.2 El concepto de estructura algebraica

Existe cierta familiaridad con la noción de operación, específicamente con la de operación binaria. Así, por ejemplo, la adición, la multiplicación y sus operaciones “inversas” (sustracción y división) en conjuntos numéricos constituyen ejemplos de operaciones binarias. Para ir abriendo paso a una generalización1 de tales operaciones “familiares”, consideremos inicialmente la adición de números enteros.

En la adición de enteros, partimos tomando dos números enteros, por ejemplo 3 y 4, y al hacer la operación obtenemos el entero 7 = 3 + 4, denominado la suma de 3 y 4. Más generalmente, si tomamos dos enteros, notados x e y, la adición produce un entero z = x + y. Técnicamente hablando, hemos tomado un par (x, y) de enteros y le hemos asignado un entero x + y, la suma de las componentes del par (x, y). En el lenguaje de la teoría de conjuntos lo que se tiene es una función

Image

cuyo dominio es el producto cartesiano del conjunto de los enteros, ℤ, consigo mismo y las imágenes –o resultados de la acción de la función– pertenecen al mismo conjunto ℤ. Un análisis similar puede hacerse para la multiplicación de enteros, la cual es una función

Image

Estos son dos ejemplos particulares de lo que denominaremos una ley de composición interna definida sobre un conjunto. El hecho de que los elementos operados (sumados o multiplicados) se consideren formando pares ordenados parecería no ser importante en estos ejemplos ya que el resultado obtenido –la suma o el producto, respectivamente– es el mismo independientemente de si el par considerado es (x, y) o (y, x). Esto es debido, en este caso, a que las dos operaciones consideradas gozan de la denominada propiedad conmutativa según la cual “el orden de los sumandos (o factores) no altera la suma (el producto)”. Sin embargo, basta con pensar en la sustracción de enteros para convencerse de que si queremos generalizar nuestras particulares observaciones a conjuntos (y operaciones) arbitrarios el “orden” de las componentes es importante. Así, la sustracción en el conjunto de los enteros es una función

Image

Como tal, es una ley de composición interna pero, por ejemplo, la imagen de la pareja (2, 3), esto es 2 3 = 1, no es la misma que la de (3, 2), la cual es 3 2 = 1. Esto, por supuesto, significará que la sustracción no es una operación conmutativa.

Algunas preguntas son pertinentes en este momento. ¿Podemos operar solo elementos del mismo conjunto? o ¿estarán siempre los “resultados” de las operaciones en el mismo conjunto al cual pertenecen los elementos operados? Si pensamos, por ejemplo, en la división de enteros, es claro que solo podemos dividir un entero cualquiera entre un entero diferente de cero y que los resultados no necesariamente son enteros. Así, la división a la que estamos haciendo referencia es entonces una función

Image

Aquí el dominio de nuestra función es el producto cartesiano de dos conjuntos distintos y las imágenes (cocientes) pertenecen al conjunto de los números racionales ℚ, del cual los conjuntos cuyo producto cartesiano es el dominio son subconjuntos propios.

Generalizando lo anterior, dados conjuntos no vacíos A, B y C, una función

Image

es denominada una operación binaria. Note que la imagen del par (x, y) bajo la función * se denota por x * y. Si A = B = C decimos que * es una ley de composición interna en el conjunto A o, simplemente, una operación binaria definida sobre A. Como dijimos antes, una estructura algebraica es un conjunto con una o más operaciones binarias definidas sobre tal conjunto. La notación para una estructura algebraica generalmente involucra al conjunto (y, posiblemente, a otros con cuyos elementos se opera o al cual pertenecen los resultados) y a los símbolos de las operaciones. En particular, si A es un conjunto no vacío y * es una ley de composición interna en A se acostumbra notar por (A, *) a la estructura algebraica resultante. Se debe resaltar que dicha notación hace referencia no solo a los elementos del conjunto A sino, principalmente, al comportamiento de los mismos con relación a la operación *. Así, por ejemplo, cuando nos referimos a la estructura “aditiva” (ℤ, +), estamos hablando de una estructura distinta a la “multiplicativa” (ℤ, ·). En ambos casos los elementos del conjunto “soporte” de la estructura son los mismos, pero el comportamiento algebraico no es igual. Por ejemplo, mientras que la estructura aditiva goza de la propiedad de existencia de inversos para cada elemento de ℤ, esta propiedad no es válida, en general, en la estructura multiplicativa, en la cual solo 1 y – 1 tienen inversos (multiplicativos).

Propiedades, seguramente familiares para el lector, como la conmutatividad, la asociatividad, entre otras, de la adición y la multiplicación en los enteros, pueden ser definidas también para leyes de composición interna. Estas se presentan a continuación.

Definición 1.2.1 Sean A y B conjuntos no vacíos con B ⊆ A. Si * y ⊆ son leyes de composición interna definidas en A. Entonces:

1. B es cerrado bajo * si y solo si para todo x,y ∈ B se cumple que x * y ∈ B.

Trivialmente, el conjunto A es, por ser * una ley de composición interna en A, cerrado para *.

2. * es:

(a) Conmutativa si y solo si para todo x,y ∈ A se satisface:

Image

(b) Asociativa si y solo si para todo x,y, z ∈ A se cumple:

Image

(c) Modulativa si y solo si existe e ∈ A tal que para todo x ∈ A se tiene:

Image

El elemento e, el cual puede probarse que es único, se denomina elemento neutro para * en A. En ese sentido, la propiedad modulativa también se denomina de existencia de elemento neutro.

(d) Invertiva si y solo si es modulativa, con neutro e, y para todo elemento x ∈ A existe un elemento y G A tal que:

Image

Para una operación invertiva y asociativa, para cada x ∈ A el elemento y de la ecuacion (1.4) es único (ejercicio). Tal elemento es denominado el inverso, bajo *, de x. En una estructura (A, *) asociativa y modulativa puede suceder que la condición de existencia de inverso no se cumpla para todos los elementos de A; si se cumple para algún elemento particular x, diremos que x es invertible (o regular o no singular) bajo * y, consecuentemente, que y es el inverso de x.

(e) Distributiva con relación asi y solo si para todo x,y,z ∈ A se tienen:

Image

La propiedad dada por (1.5) se denomina usualmente distributiva (de * con relación a) por la derecha, mientras que la dada por (1.6) lo será por la izquierda.

Algunas de las definiciones dadas pueden extenderse a operaciones binarias que no sean necesariamente leyes de composición interna. Por ejemplo, para una operación binaria *: A × B Image B, decimos que es modulativa a izquierda si y solo si existe e ∈ A tal que para todo x ∈ B se tiene e * x = x. En este caso e es denominado un neutro a izquierda. De manera similar se puede definir elemento neutro a derecha para operaciones del tipo * : A × B Image A. Nóotese así que para leyes de composición interna el neutro, si existe, lo es tanto a izquierda como a derecha. También es costumbre, para una operación *: A × B Image B, decir que un conjunto no vacío D ⊆ B es cerrado para * si y solo si, siempre que se tengan x ∈ A, y ∈ D, se tiene también que (x * y) ∈ D. Se dejan al lector otras posibles extensiones de las definiciones dadas. Diremos también que una estructura (A, *) es asociativa (o conmutativa, modulativa, etc.) si lo es la operación *.

Si * es una ley de composición interna en el conjunto A y B es un subconjunto de A, cerrado bajo *, entonces la restricción de * a B, usualmente notada *| B,

Image

es también una ley de composición interna en B. Algunas de las propiedades ya definidas (conmutativa, asociativa, distributivas) claramente son válidas también para la restricción de * a B, en caso de que se cumplan en A, diremos en tal caso que son hereditarias.2 Las propiedades (1.3) y (1.4), por su parte, se satisfacen –si se cumplen en A– para todo xB, pero no se garantiza la pertenencia del neutro e, o el inverso de x al conjunto B.

Ejemplo 1.2.1

1. La conocida estructura aditiva de los enteros (ℤ, +) es, como recordará el lector, asociativa, conmutativa, modulativa e invertiva. Una estructura tal, como se definirá después, es denominada un grupo abeliano. Aquí el elemento neutro (aditivo) es cero, 0, y cada entero x tiene un inverso aditivo −x. Por su parte la estructura multiplicativa (ℤ, ·) es asociativa, conmutativa y modulativa, pero no es invertiva. Solamente, como ya se mencionó, son invertibles el 1 y el −1 y, en cada caso, el inverso es el mismo elemento. Para enteros distintos de cero y de 1 y −1, por ejemplo 2, el inverso multiplicativo existe si se consideran como parte del conjunto de los racionales, es decir de la estructura (ℚ, ·), pero no es un entero. En el ejemplo considerado, el inverso de 2 es 0.5 = Image. Este ejemplo resalta la importancia de que una estructura depende tanto del conjunto como de la o las operaciones consideradas.

Grupos abelianos, como el caso de (ℤ, +), son también (ℚ, +), (ℝ, +), (ℤ −{0}, ·) y (ℝ −{0}, ·).

2. Consideremos el conjunto A = {a, b, c}. Una ley de composición interna sobre A debe asignar a cada par (x, y) ∈ A×A, es decir, a cada par de elementos de A, un elemento único del mismo conjunto. Se puede elegir arbitariamente tales “resultados” de la operación. En este caso, la operación puede definirse mediante una tabla; por ejemplo, las que se muestran a continuación.

Image

En la primera fila y la primera columna de cualquiera de las tablas se muestranel símbolo de la operación y los elementos del conjunto A. El resultado de operar un elemento de una columna con uno de una fila es el elemento en la intersección de dichas fila y columna. Así, por ejemplo:

Image

Nótese que en (A, *), a es un neutro a izquierda pero no a derecha (b * a = c), mientras que en (A, ⋄) es neutro tanto a derecha como a izquierda; es decir, es modulativa. Puesto que a * b = b ≠ = c se sigue que * no es conmutativa. ¿Es asociativa? Puede verificarse que es asociativa, modulativa, invertiva y conmutativa; es decir, (A, ⋄) es un grupo abeliano. Nótese que el inverso de b, bajo , es c y el de c es b. a, por su parte, es su propio inverso bajo .

3. Para un entero n ≥ 2 sea ℤn = {0, 1, 2, . . . , n – 1}, el conjunto de los enteros no negativos menores que n. Por ejemplo:

Image

Así, ℤn es, en principio, un subconjunto del conjunto de los enteros. Es claro, sin embargo, que no es cerrado bajo la adición “usual” de enteros. Así, por ejemplo 1 + (n – 1) = n, pero n ∉ ℤn. Para la multiplicación, si n > 2, tampoco el conjunto considerado es cerrado. Sin embargo, es un hecho conocido que el cociente de un entero no negativo entre n ≥ 2 tiene residuo menor que n. Así, podemos definir unas “nuevas” adición y multiplicación en ℤn, tomando como resultados los residuos de la división entre n de la adición y multiplicación “usuales” de los elementos considerados, garantizando así la cerradura del conjunto bajo tales operaciones (adición y multiplicación módulo n).

Por ejemplo, si consideramos ℤ6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, entonces como “suma” de 3 y 4 tomamos el residuo de dividir 7 (la suma usual) entre 6. Así, en este caso, tenemos 3 +4 = 1. Por su parte, 3(4) = 0 dado que el residuo de dividir 12 (producto usual de 3 por 4) entre 6 es 0. Las tablas de estas adición y multiplicación ( módulo 6) se muestran abajo.

Image

Nótese que ambas operaciones son conmutativas y que 0 y 1 siguen siendo los neutros aditivo y multiplicativo, respectivamente, en Z6 (y, en general, en ℤn) y que cada elemento tiene un inverso aditivo. Específicamente, el inverso aditivo de un elemento x ∈ ℤn – {0} es n – x, dado que (n – x) + x = x + (n – x) = 0. Si siguiendo la notación familiar en los enteros, se denota por -x al inverso aditivo de x, tenemos entonces3:

Image

Tal como en el caso de los enteros, y siguiendo la notación anterior, los únicos elementos invertibles (multiplicativamente) en ℤ6 son 1 y 1 = 5 y si, nuevamente tomando “prestada” la notación multiplicativa para inversos en los números reales, para un elemento invertible x, notamos por x–1 su inverso en ℤ6, tenemos:

Image

Es decir, al igual que en ℤ, cada uno es su propio inverso. Puede mostrarse fácilmente que para cualquier valor de n ≥ 2, en (ℤn, ·) efectivamente 1 y nnn9