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Consejo Superior

Fernando Sánchez Torres (presidente)

Jaime Arias Ramírez

Jaime Posada Díaz

Javier Casas Salgado (representante de los docentes)

Lorena María Moros Martínez (representante de los estudiantes)

Rector

Rafael Santos Calderón

Vicerrector académico

Óscar Leonardo Herrera Sandoval

Vicerrector administrativo y financiero

Nelson Gnecco Iglesias

Esta es una publicación del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas

Gastón Antonio Mejía Arias (Decano)

Fabián Sánchez Salazar (Director del Departamento de Matemáticas)

ISBN (ePub): 978-958-26-0372-4

Primera edición: 2017

Calle 21 n.º 5-84 (4.º piso). Bogotá, D. C., Colombia

PBX: 323 98 68, ext. 1556

editorial@ucentral.edu.co

Catalogación en la Publicación Universidad Central

Alfonso Cristancho, Amed Alfonso,

Introducción a la transformada de Radon / Amed Alfonso Alfonso Cristancho, Lucio Rojas Cortés.

--Bogotá : Ediciones Universidad Central, 2017.

102 páginas : ilustraciones ; 22 cm

Incluye referencias bibliográficas.

ISBN (ePub): 978-958-26-0372-4

1. Espacios de Hilbert 2. Transformaciones de Fourier 3. Tomografía de emisión 4. Diagnóstico por imagen.

I. Sanabria Rivera, Héctor, coordinador editorial II. Universidad Central. Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas. Departamento de Matemáticas.

515.723 – dc23 PTBUC / 08-09-2017

Preparación editorial

Coordinación Editorial

Dirección: Héctor Sanabria Rivera

Coordinación: Jorge Enrique Beltrán

Diseño de carátula: Mónica Cabiativa Daza

Preparación digital: Mónica Cabiativa Daza y Diego Andrés Gil Rincón

Corrección de textos: Nicolás Rojas Sierra

Editado en Colombia - Published in Colombia

Para el diseño de cubierta se usó una imagen disponible en https://pixabay.com

Prohibida la reproducción o transformación total o parcial de este material por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.

A la doctora Edel María Serrano Iglesias (q. e. p. d.), quien partió de forma tan repentina que no hubo tiempo de decirle adiós. Que Dios la tenga en su gloria; la llevamos en el corazón.

Con especial aprecio y cariño a nuestras familias, por su comprensión, estímulo y sacrificio.

Contenido

Lista de símbolos

Resumen

Los autores

Agradecimientos

Introducción

Capítulo 1. Conceptos básicos

1.1 Reseña histórica

1.2 Conceptos básicos

Capítulo 2. La transformada de Radon y su inversa

2.1 Definiciones

2.2 Transformada de Radon en ℝ2

2.3 Transformada de Radon en ℝn

2.4 Ejemplos de la transformada de Radon

2.5 Sinograma

2.6 Inversa de la transformada de Radon

Capítulo 3. Propiedades de la transformada de Radon en ℝ2

3.1 Propiedad de linealidad

3.2 Propiedad de periodicidad

3.3 Propiedad de traslación

3.4 Propiedad de escalamiento

3.5 Propiedad de espacios acotados

3.6 Propiedad de rotación

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la transformada de Radon

4.1 Aplicaciones de la transformada de Radon en tomografía

4.2 Aplicaciones de la transformada de Radon en astronomía

4.3 Aplicaciones de la transformada de Radon en interferometría óptica

4.4 Relación con la transformada de Radon

Referencias

Lista de símbolos

Pn	espacio de hiperplanos en ℝn
E	hiperplano en Pn
χs	función indicadora
R_θ f (t)	transformada de Radon
ℝ#	operador de retroproyección
Iα	operador potencial de Riesz
Δ	operador de Laplace
	norma
H{s}(t)	transformada de Hilbert
vp	valor principal
Sn – 1	esfera de dimensión (n – 1)
δ	distribución delta
H	espacio de Hilbert; la transformada de Fourier discreta también se denota por H

Resumen

El propósito de este trabajo es ofrecer a los estudiantes y, en general, al público interesado una introducción al tema de la transformada de Radon, de la manera más sencilla y didáctica posible. Para ello, se parte de una breve reseña histórica y se explican los conceptos básicos necesarios para comprender la transformada, como el producto interno, los espacios de Hilbert, la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert y la función signo. Con base en estos conceptos, se expone entonces paso por paso el desarrollo de la transformada de Radon, así como su transformada inversa en ℝ2 y ℝn, con sus respectivas gráficas para ilustrar el proceso y sus resultados. Posteriormente se definen sus propiedades de linealidad, periodicidad, traslación, escalamiento, rotación y espacios acotados. Finalmente, se comentan brevemente algunas de las aplicaciones de la transformada de Radon en la tomografía computarizada, la astronomía y la interferometría óptica.

Palabras clave: transformada de Radon, tomografía, sinograma y reconstrucción de imágenes.

Cómo citar

apa: Alfonso, A. A. y Rojas, L. (2017). Introducción a la transformada de Radon. Bogotá: Ediciones Universidad Central.

mla Introducción a la transformada de Radon

chicago parentético: Alfonso, Amed, y Lucio Rojas Cortés. 2017. Introducción a la transformada de Radon. Bogotá: Ediciones Universidad Central.